在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。
相对补集[编辑]
相对补集
若
和
是集合,则
在
中的相对补集是由所有属于
但不属于
的元素組成的集合。
在
中的相对补集记为
或
。
形式上:
![{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\not \in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3daa701e949f3d81729d011aad442f6d26119c)
例如:
![{\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3804c51bf7a8345352906cedde09d2bc59e226ea)
![{\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba60c7cfb82fcc11a6a85a4856aa917d8cb3075d)
- 若
是实数集合,
是有理数集合,则
为无理数集合。
下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。
命题1:若
是集合,则下列等式恒成立:
![{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62256681e906daba7376fb07b3ce0d060ee66777)
![{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9645ff17cf12f478ebd4eeb16087a867b2ea9622)
![{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1e4c66153acc88f4b2a3398ddcfd5058ec5404)
![{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69913a4fc3629d6073e0f9daafa3d187dfc14225)
![{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7f714f1b2afeedc674e0633feb88bc3026c9d2)
![{\displaystyle A\setminus A=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2522c387694b6da6b63c14b8f39b71c9f1f2f2)
![{\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0982092cb13788532476737a7c4dfad5a7896c0)
![{\displaystyle A\setminus \varnothing =A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f215ced970c31fc4143d0521af163dc85af379d)
绝对补集[编辑]
绝对补集
若给定全集
,则
在
中的相对补集称为
的绝对补集(简称补集),记为
,即:
![{\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8acbd18bc38888a5fa11cc60d840879af5e200)
(注意:根据ISO与中华人民共和国国家标准,
中子集
的补集记作
。)
例如,若全集为自然数集合,则奇数集合的补集为偶数集合。
下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。
命题2:若
和
是全集
的子集,则下列恒等式成立:
- 德摩根定律:
![{\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ee8f8573dcd4ea9154e7748d21af057d739e9e)
![{\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95470d591c8f7e36df94ef1803815bb4b4d98a3)
- 补集律:
![{\displaystyle A\cup A^{\complement }=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1c4a8b744774e886ed39dfa9dcaef6553c8bcb)
![{\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbe3ff2f0f20220ff2a3c1cd8cc43cdc2ee5178)
![{\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13485128a746ac51ea39891fb4ecb562a2230d99)
![{\displaystyle U^{\complement }=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86deb59fa7c5e8e0c26c75a20c351d708dfbd894)
- 對合:
![{\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b8e8141805389e4b1a421611ee13e8739b4663)
- 相对补集和绝对补集的关系:
![{\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd7b75dcdc2a648834263647b80977a2e6dc12)
![{\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7e3ed33004f60ba639136d537cbc3e34438fdc)
上述表明,若
为
的非空子集,则
是
的一个分割。
补集的符号[编辑]
补集的符号在Unicode中为数学运算符区段中的“∁”(Unicode:U+2201)。
参考文献[编辑]